Question

求下列函数单调区间：
（1）y=f(x)=x3-

1

2

x2-2x+5；
（2）y=

x2-1

x

；
（3）y=

k2

x

+x（k＞0）；
（4）y=2x²-lnα．

Answer 1

分析：首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最好根据导数与函数单调性的关系进行求解．

解答：解：（1）由题意得f′（x）=3x²-x-2，
令f′（x）=0，解得x=1或-

2

3

，
当x＜-

2

3

或x＞1时，f′（x）＞0，
∴（-∞，-

2

3

）∪（1，+∞）为f（x）的单调递增区间，
当-

2

3

≤x≤1时，f′（x）＜0，
∴[-

2

3

，1]为f（x）的单调递减区间．
（2）∵y=

x2-1

x

，
∴y′=

x2+1

x2

＞0，
∴y在（-∞，+∞）上是增函数；
∴y的单调增区间为（-∞，+∞）；
（3）∵y=

k2

x

+x（k＞0），
∴y′=

-k2

x2

+1=

x2-k2

x2

令y′=0得，x²-k²=0，
解得x=±k，
∴当y′＞0时，即y在（k，+∞）∪（-∞，-k）上为增函数；
当y′＜0时，即y在[-k，k]上为减函数；
（4）∵y=2x²-lnα，
∴y′=4x，
令y′=0，解得x=0，
∴当x＞0时，y′＞0，y为增函数；
当x＜0时，y′＜0，y为减函数；
∴y的增区间为（0，+∞），减区间为（-∞，0）；

点评：此题主要考查函数导数与函数单调性之间的关系，需要掌握并会熟练运用导数判断函数的单调性．