Question

已知a₁，a₂，a₃，…，a₃₀是首项为1，公比为2的等比数列．对于满足0＜k＜30的整数k，数列b₁，b₂，b₃，…，b₃₀由确定．记C=a₁b₁+a₂b₂+…+a₃₀b₃₀．
（Ⅰ）当k=1时，求C的值；
（Ⅱ）求C最小时k的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把k=1代入得然后列举出C的项利用等比数列的求和公式求出C即可；
（Ⅱ）写出C=a₁b₁+a₂b₂+…+a_kb_k+…+a₃₀b₃₀代入得到前30-k和k项，分别利用等比数列的求和公式化简，并利用基本不等式得到：，当且仅当2^30-k=2^k时取等号，求出k即可．
解答：解：（Ⅰ）当k=1时，
∴C=a₁b₁+a₂b₂+…+a₃₀b₃₀=a₁a₂+a₂a₃+…+a_ra_r+1+…+a₂₉a₃₀+a₃₀a₁
=1×2+2×2²+…+2^r-1×2^r+…+2²⁸×2²⁹+2²⁹×1
=2+2³++2^2r-1++2⁵⁷+2²⁹
=
（Ⅱ）C=a₁b₁+a₂b₂+…+a_kb_k+…+a₃₀b₃₀
=1×2^k+2×2^k+1+…+2^k-1×2^2k-1+…+2^29-k×2²⁹+2^30-k×1+2^31-k×2+…+2²⁹×2^k-1
=+
=+
=
=
=
当且仅当2^30-k=2^k，即k=15时，C最小．
点评：考查学生灵活运用等比数列性质的能力，以及会用数列的递推式进行化简求值，会用基本不等式求函数的最小值．