Question

在三角形ABC中，若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则三角形是

1. A.
   等边三角形
2. B.
   直角三角形
3. C.
   等腰三角形
4. D.
   等腰直角三角形

Answer 1

A
分析：根据三角函数的性质可知cos（A-B）≤1，cos（B-C）≤1，cos（C-A）≤1，进而可知要知题设条件成立，需三个函数值同时为1，进而推断出三角形ABC三个内角相等，进而可判断出三角形的形状．
解答：∵-1≤cos（A-B）≤1，-1≤cos（B-C）≤1，-1≤cos（C-A）≤1，
当其中有1项结果＜1时，就会出现cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）＜1，
∴若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，
只有1种情况成立，即cos（A-B）=1，cos（B-C）=1，cos（C-A）=1，
∴A=B=C=60°，
∴三角形ABC为等边三角形
故选A
点评：此题考查了三角形形状的判断，以及余弦函数的值域，本题的突破点是根据三角函数性质得出已知等式成立必须三者同时为1，即三内角相等，可以利用反证法进行说明．