题目内容
21.已知函数f(x)=x2+x-1,α、β是方程f(x)=0的两个根（α＞β）
是f(x)的导数.设a1＝1，an+1=an-
(n=1,2,…).(1)求α、β的值；
(2)证明：任意的正整数n，都有an＞
;
(3)记bn=
(n=1,2,…),求数列{bn}的前n项和Sn.
解： (1)解方程x2+x-1=0得x=
由＞β知=,β=
(2) f' (x)=2x+1
=
-
=
下面我们用数学归纳法来证明该结论成立
①当n=1时，a1=1＞
=
成立，
②假设n=k(k≥1, k∈N*)时，结论也成立，即ak＞
成立，
③那么当n=k+1时，
=
=
-
+
＞
-
+
=
+
=
这就是说，当n=k+1时，结论也成立，故对于任意的正整数n，都有an＞
(3) 
=
=
=
=(
)2
由题意知an＞
,那么有an＞β，于是对上式两边取对数得
ln
=ln(
)2=2 ln
即数列{bn}为首项为b1= ln(
)=2ln(
)，公比为2的等比数列。
故其前n项和
Sn=2ln(
) 
=2ln(
)(2n -1).
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