题目内容

已知函数f(x)=2x2-2x-1,|x-a|＜.

求证:|f(x)-f(a)|＜2(|a|+).

证明：|f(x)-f(a)|?

=|2x2-2x-1-(2a2-2a-1)|?

=|2x2-2a2-2x+2a|=|2(x-a)(x+a-1)|?

=2|x-a|·|x+a-1|＜|x+a-1|?

=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a|+|-1|＜+|2a|+1?

=+2|a|=2(+|a|).?

∴原不等式成立.

温馨提示

利用了放缩的方法,过程简捷.由于结论中两式含有根号和绝对值符号,也可采用平方差法,三角换元法,数形结合等方法证明.

练习册系列答案
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已知函数f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函数f（x）的对称中心；
（2）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（3）是否存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．
已知函数f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，则f[f（-2）]=
3
3
．
已知函数f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）当x∈[0，2π]时，求使f(x)=
3
成立的x的值．
已知函数f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的图象过点（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）若f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，则当x=
4π
3
4π
3
时，函数f（x）有最大值，最大值为
2
3
2
3
．

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