Question

已知函数f（x）=ae^x-e^-x，x∈R有一个零点为0，且函数f（x）的导函数为f′（x）．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间及f′（x）的最值；
（3）请探究当x∈[0，+∞）时，是否存在实数k，使得f（x）≥kx恒成立，若存在，请求出k的取值范围，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）=ae^x-e^-x，x∈R有一个零点为0，则有f（0）=0，得出a=1
（2）由（1），f（x）=e^x-e^-x，求出f′（x），利用单调性与导数的关系求解即可．
（3）假设当x∈[0，+∞）时，存在实数k，使得f（x）≥kx恒成立．构造g（x）=f（x）-kx=e^x-e^-x-kx只需g（x）min≥0即可，转化为求g（x）min．

解答：（本小题满分13分）
解：（1）由题可知f（0）=ae⁰-e^-0=0，a=1…．（1分）
（2）∴f（x）=e^x-e^-x即f(x)=ex-

1

ex

f′(x)=ex+

1

ex

≥2

ex• 1 ex

=2＞0
所以函数f（x）的单调递增区间为R，f'（x）的最小值为2．…（4分）
（3）假设当x∈[0，+∞）时，存在实数k，使得f（x）≥kx恒成立．
设g（x）=f（x）-kx=e^x-e^-x-kx，g'（x）=e^x+e^-x-k…．（6分）
当k≤2时，g'（x）≥0，所以g（x）在[0，+∞）为单调递增函数，
∴g（x）≥g（0）=0恒成立
所以f（x）≥kx恒成立．…．（9分）
当k＞2时，
不妨设 g'（x）=e^x+e^-x-k＞0
则x＜x1=ln

k- k2-4

2

或x＜x2=ln

k+ k2-4

2

∵k＞2，∴x₁＜0，x₂＞0
∴0＜x＜x₂时，g'（x）＜0，x＞x₂时，g'（x）＞0
∴g（x）_min=g（x₂）＜g（0）=0
所以当k＞2时g（x）≥0恒成立是不可能的．
综上所得：当x∈[0，+∞）时，存在实数k≤2，使得f（x）≥kx恒成立．
…．（13分）

点评：此题考查函数单调性与导数的关系，考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，求函数最值，极值．掌握不等式恒成立时所取的条件，是一道综合题．