Question

已知数列{a_n}，a₁=3，a_n+1=4a_n-3
（Ⅰ）设b_n=1og₂（a_n-1），求数列{b_n}的前n项和S_n
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＞

n

n+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用数列递推式，可得{a_n-1}是以2为首项，4为公比的等比数列，进而利用b_n=1og₂（a_n-1），可得数列{b_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，由此可求数列{b_n}的前n项和S_n
（Ⅱ）先放缩，再利用裂项法，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：∵a_n+1=4a_n-3，∴a_n+1-1=4（a_n-1）
∵a₁=3，∴a₁-1=2，
∴{a_n-1}是以2为首项，4为公比的等比数列
∴a_n-1=2×4^n-1=2^2n-1，
∵b_n=1og₂（a_n-1），∴b_n=2n-1，
∴数列{b_n}是以1为首项，2为公差的等差数列
∴S_n=

n(1+2n-1)

2

=n²；
（Ⅱ）证明：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＞

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＞

n

n+1

．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．