Question

已知函数f(x)=log

1

2

(ax2+3x+a+1)
（1）当a=0时，求函数f（x）的定义域；
（2）对于x∈[1，2]，不等式(

1

2

)f(x)-3x≥2恒成立，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=0时，由函数f（x）=log

1

2

(3x+1)，可得3x+1＞0，由此求得函数的定义域．
（2）由题意可得 a≥

1

x2+1

 恒成立，根据函数

1

x2+1

在[1，2]上是减函数，求得

1

x2+1

取得最大值，
可得a的范围．

解答：解：（1）当a=0时，由函数f（x）=log

1

2

(3x+1)，
可得3x+1＞0，
故函数的定义域为（-

1

3

，+∞）．
（2）∵对于x∈[1，2]，不等式(

1

2

)f(x)-3x≥2恒成立，
即 ax²+3x+a+1-3x≥2，
即a≥

1

x2+1

 恒成立．
由于函数

1

x2+1

在[1，2]上是减函数，
故当x=1时，

1

x2+1

取得最大值为

1

2

，
∴a≥

1

2

，即a的范围是[

1

2

，+∞）．

点评：本题主要考查求函数的定义域，函数的恒成立问题，利用单调性求函数的最值，属于中档题．