Question

在△ABC中，A，B，C为它的三个内角，设向量

p

=(cos

B

2

，sin

B

2

)，

q

=(cos

B

2

，-sin

B

2

)，且

p

与

q

的夹角为

π

3

．
（I）求角B的大小；
（II）已知tanC=

3

2

，求

sin2A•cosA-sinA

sin2A•cos2A

的值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的数量积及其夹角公式即可得出；
（II）利用商数关系、平方关系及其诱导公式与已知tanC及其B即可得出cosA，再利用倍角公式即可化简所求的式子即可．

解答：解：（I）∵

p

•

q

=cos2

B

2

-sin2

B

2

=cos2B，|

p

|=

cos2 B 2 +sin2 B 2

=1=|

q

|，且

p

与

q

的夹角为

π

3

．
∴cos

π

3

=

p • q

| p | | q |

，得到

1

2

=cos2B，
∵B∈（0，π），∴2B∈（0，2π），∴2B=

π

3

或2π-

π

3

，解得B=

π

6

或

5π

6

．
（II）∵tanC=

3

2

，C∈（0，π），∴sinC=

3

7

，cosC=

2

7

．
∴C＞

π

6

，因此只能取B=

π

6

．
∴cosA=-cos（B+C）=-（cosBcosC-sinBsinC）=-（

3

2

×

2

7

-

1

2

×

3

7

）=-

21

14

．
∵

sin2A•cosA-sinA

sin2A•cos2A

=

2sinAcosAcosA-sinA

2sinAcosAcos2A

=

2cos2A-1

2cosAcos2A

=

1

2cosA

=-

2 21

3

．

点评：熟练掌握向量的数量积及其夹角公式、同角的商数关系与平方关系及其诱导公式、倍角公式是解题的关键．