Question

如图所示，已知一次函数y=kx+b（b＞0）与二次函数y=

1

2

x2的图象相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，其中x₂＞0且x₁x₂=-1，点F(0，b)，

AF

=t

FB

．
（1）求

OA

•

OB

的值
（2）当t=

3

2

时，求以原点为中心，F为一个焦点且过点B的椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）由直线y=kx+b与抛物线y=

1

2

x2联解，消去y得x²-2kx-2b=0，利用根与系数的关系算出x₁x₂=-2b=-1，解得b=

1

2

．由此可得y₁y₂=

1

4

x12x22=

1

4

，利用向量数量积的坐标公式，即可算出

OA

•

OB

的值；
（2）求出

AF

、

FB

的坐标，根据

AF

=t

FB

得t=-

x1

x2

=

1

x22

，结合t=

3

2

算出x₂²=

2

3

，从而得到B（

2 3

，

1

3

），再由点F（0，

1

2

）为所求椭圆的焦点，设椭圆的方程为

y2

a2

+

x2

a2- 1 4

=1，将点B的坐标代入解出a²=1，即可得到所求椭圆的标准方程．

解答：解：（1）由

y=kx+b y= 1 2 x2

消去y，得x²-2kx-2b=0．
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b=-1，解得b=

1

2

．
因此，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+

1

2

x12•

1

2

x22=-2b+

1

4

（-2b）²=-1+

1

4

=-

3

4

；
（2）∵

AF

=t

FB

，

AF

=（-x₁，b-y₁），

FB

=（x₂，y₂-b），
∴-x₁=tx₂，得t=-

x1

x2

=-

x1x2

x22

=

1

x22

，
由此可得x₂²=

1

t

，结合t=

3

2

得x₂²=

1

t

=

2

3

，
∵x₂＞0，∴x₂=

2 3

，y₂=

1

2

x₂²=

1

3

，可得B（

2 3

，

1

3

）
∵点F（0，b）即F（0，

1

2

），是椭圆的焦点．
∴以F为一个焦点的椭圆方程为

y2

a2

+

x2

a2- 1 4

=1（a＞

1

2

）
∵点B（

2 3

，

1

3

）在椭圆上，∴

1 9

a2

+

2 3

a2- 1 4

=1，解之得a²=1（a²=

1

36

舍去）．
因此，以原点为中心、为一个焦点且过点B的椭圆方程为y2+

4x2

3

=1．

点评：本题着重考查了向量的数量积、向量的线性运算性质、抛物线的简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和椭圆的标准方程等知识，属于中档题．