Question

如图,已知长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁,AB=2,AA₁=1,直线BD与平面AA₁B₁B所成的角为

30°,AE垂直BD于E,F为A₁B₁的中点.

(1)求异面直线AE与BF所成的角;

(2)求平面BDF与平面AA₁B所成二面角(锐角)的大小;

(3)求点A到平面BDF的距离.

Answer 1

解：在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AA₁所在直线为z轴,建立空间直角坐标系(如下图).

由已知AB=2,AA₁=1,可得A(0,0,0),B(2,0,0),F(1,0,1).

又AD⊥平面AA₁B₁B,从而BD与平面AA₁B₁B所成的角为∠DBA=30°.

又AB=2,AE⊥BD,AE=1,AD=,

从而易得E(,,0),D(0,,0).

(1)因为=(,,0),=(-1,0,1),

所以cos〈,〉===,

即异面直线AE、BF所成的角为arccos.

(2)易知平面AA₁B的一个法向量为m=(0,1,0).

设n=(x,y,z)是平面BDF的一个法向量，

又=(-2,,0).

由

取n=(1,,1),

所以cos〈m,n〉=,

即平面BDF与平面AA₁B所成的二面角（锐角）大小为arccos.

(3)点A到平面BDF的距离，即AB在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值.

又因为=(2,0,0),

所以距离d=.

所以点A到平面BDF的距离为.