Question

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂，a₅是方程x²﹣12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较的大小，并说明理由．

Answer 1

解：（1）设{a_n}的首项为a₁，
∵a₂，a₅是方程x²﹣12x+27=0的两根，
∴
∴a_n=2n﹣1
n=1时，
∴
n≥2时，，，
两式相减得 数列是等比数列，
∴
（2）∵Sn==n²，
∴S _n+1=（n+1）²，=．
以下比较与S _n+1的大小：
当n=1时，=，S₂=4，∴＜S₂，
当n=2时，=，S₃=9，∴＜S₃，
当n=3时，=，S₄=16，∴＜S₄，
当n=4时，=，S₅=25，∴＞S₅．
猜想：n≥4时，＞S _n+1．
下面用数学归纳法证明：
①当n=4时，已证．
②假设当n=k （k∈N*，k≥4）时，＞S _k+1，即＞（k+1）²．
那么n=k+1时，==3＞3（k+1）²=3k²+6k+3
=（k²+4k+4）+2k²+2k﹣1＞[（k+1）+1]²=S_（k+1）+1，
∴n=k+1时，＞S _n+1也成立．
由①②可知n∈N*，n≥4时，＞Sn+1都成立，
综上所述，当n=1，2，3时，＜S _n+1；当n≥4时，＞Sn+1．