Question

已知等差数列{a_n}满足：a₁=2，公差d≠0，
（1）若a₁，a₂，a₄成等比数列，求a_n；
（2）已知a₅＜0，若当且仅当n=5时，|a_n|取得最小值，求d的取值范围．

Answer 1

分析：由题意可设a_n=2+（n-1）d，d≠0（1）若a₁，a₂，a₄成等比数列，则

a

2 2

=a1•a4，即（2+d）²=2•（2+3d），解此方程可得d，代回原式可得答案；
（2）由a₅＜0，可得d＜-

1

2

，又当且仅当n=5时，|a_n|取得最小值，故

a4＞0 |a5|＜a4

，即

2+3d＞0 -2-4d＜2+3d

，解不等式组可得d的范围．

解答：解：由题意可设a_n=2+（n-1）d，d≠0，-------------------（1分）
（1）若a₁，a₂，a₄成等比数列，则

a

2 2

=a1•a4，------------------（2分）
即（2+d）²=2•（2+3d），化简得d（d-2）=0，
∵d≠0，∴d=2，----------------------------（4分）
∴a_n=2n------------------------------------------------------（5分）
（2）∵a₅＜0，∴2+4d＜0，得d＜-

1

2

，--------------（6分），
若当且仅当n=5时，|a_n|取得最小值，则

a4＞0 |a5|＜a4

，
即

2+3d＞0 -2-4d＜2+3d

，得

d＞- 2 3 d＞- 4 7

，---------------------------（9分）
又d＜-

1

2

，∴-

4

7

＜d＜-

1

2

，
即d的取值范围是(-

4

7

，-

1

2

)．-----------------------（10分）

点评：本题为等差与等比数列的结合，准确把条件转化为不等式来求解是解决问题的关键，属基础题．