Question

已知函数f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2
（1）当a=0时，求f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2在区间[0，2]上的最大值和最小值．
（2）若函数f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2在区间[0，2]上的最小值为3，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）把a=0代入f（x），对其进行求导，利用二次函数的性质及其图象进行求解；
（2）已知函数f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2，对其进行配方得到对称轴，利用分类讨论的方法进行求解；

解答：解：（1）当a=0，f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2=4x²+2，在（0，+∞）上为增函数，开口向上，
∴f（x）在x=0处取得最小值，f（x）_min=f（0）=2，
在x=2处取得最大值，f（x）_max=f（2）=18；
（2）函数f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2=4（x-

a

2

）²-a²+a²-2a+2=4（x-

a

2

）²-2a+2，开口向上，
在区间[0，2]上的最小值为3，
若a≤0，可得f（x）在[0，2]上为增函数，f（x）_min=f（0）=a²-2a+2=3，
解得a=1±

2

，∵a＜0，
∴a=1-

2

；
若0＜a＜4，可得0≤

a

2

≤2，f（x）在x=

a

2

上取最小值，f（x）_min=f（

a

2

）=-2a+2=3，
解得a=-

1

2

，（舍去）；
若a≥4时，f（x）在[0，2]上为减函数，f（x）_min=f（2）=16-a+a²-2a+2=3，
解得a无解，
综上：a=1-

2

；

点评：此题主要考查二次函数的图象及其性质，解题的过程中用到了分类讨论的数学思想，这也是高考的热点问题，本题是一道基础题；