Question

已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）+f（1-x）=1．
（1）求f(

1

2

)和f(

1

n

)+f(

n-1

n

)(n∈N*)的值；
（2）若数列{an}满足an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)（n∈N*），求{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}满足b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，S_n是数列{b_n}前n项的和，是否存在正实数k，使不等式knS_n＞4b_n对于一切的n∈N^*恒成立？若存在指出k的取值范围，并证明；若不存在说明理由．

Answer 1

分析：由题设知，处变量的和为1，则函数值和为1．对于（1）令x=

1

2

可以求得f（

1

2

）值，令x=

1

n

可以求得f（

1

n

）+f（

n-1

n

）的值．
对于（2）观察通项的形式，可以用倒序相加法求出通项的方程．求出a_n的值．
对于（3）可以看出，本题是一个对存在性问题的探究，其前提是解出数列{b_n}的前n项和，观察其形式可以看出，就用错位相减法求和，代入不等式，可得到一关于n的一元二次不等式恒成立，由单调性判断可得出关于参数k的不等式．

解答：解：（1）令x=

1

2

，f(

1

2

)+f(1-

1

2

)=1，∴f(

1

2

)=

1

2

，
令x=

1

n

，f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=1
（2）∵an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)+f(1)①
∴an=f(1)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

1

n

)+f(0)②
由（Ⅰ），知f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=1
∴①+②，得2an=(n+1)．∴an=

n+1

2

．
（3）∵b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，∴b_n=（n+1）•2ⁿ
∴S_n=2•2¹+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ，①
2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②得-S_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
即S_n=n•2ⁿ⁺¹
要使得不等式knS_n＞4b_n恒成立，
即kn²-2n-2＞0对于一切的n∈N^*恒成立，n=1时，k-2-2＞0成立，即k＞4
设g（n）=kn²-2n-2
当k＞4时，由于对称轴直线n=

1

k

＜1，
且g（1）=k-2-2＞0，而函数f（x）在[1，+∞）是增函数，
∴不等式knS_n＞b_n恒成立
即当实数k大于4时，不等式knS_n＞b_n对于一切的n∈N^*恒成立．

点评：本题考点是恒等式的意义与错位相减法求和，以及不等式恒成立时怎么根据其形式求最值．考查了变形能力以及结合相应函数的性质对不等式恒成立的条件作出判断的能力．