Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）判断并说明函数的零点个数.若函数所有零点均在区间内，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）存在两个零点，且，；最小值为3.

【解析】

（1）直接求导即可；

（2），为判断出符号，分成3段处理：第一段，第二段，第三段，第四段分别研究.

解:的定义域为

令得 (舍).当时，，

当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，

因此，函数的单调增区间为，单调减区间为

，

当时，，所以，在上单调递增，又，

，所以存在唯一，使得.

当时，， 所以

单调递减，又，所以，在上单调递

增，因为，所以，故不存在零点；当时，

，，所以单调递减，

又，所以存在，使得.

当时，单调递增，当时，单调

递减，又，，

，所以存在唯一，使得.

当时，，故不存在零点.

综上，存在两个零点，且，

因此的最小值为.