Question

（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x²-12x+6，所以f′（2）=6
∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x-8；
（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．
f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a）
令f′（x）=0，得到x₁=1，x₂=a
当a＞1时，

x	0	（0，1）	1	（1，a）	a	（a，2a）	2a
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	0	单调递增	极大值3a-1	单调递减	极小值 a2（3-a）	单调递增	4a3

比较f（0）=0和f（a）=a²（3-a）的大小可得g（a）=

0，1＜a≤3 a2(3-a)，a＞3

；
当a＜-1时，

X	0	（0，1）	1	（1，-2a）	-2a
f′x）		-	0	+
f（x）	0	单调递减	极小值3a-1	单调递增	-28a3-24a2

∴g（a）=3a-1
∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=

3a-1，a＜-1 0，1＜a≤3 a2(3-a)，a＞3

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．