Question

已知抛物线（且为常数），为其焦点．

（1）写出焦点的坐标；

（2）过点的直线与抛物线相交于两点，且，求直线的斜率；

（3）若线段是过抛物线焦点的两条动弦，且满足，如图所示．求四边形面积的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（a，0）；（2）； (3) ．

【解析】

试题分析：（1）∵抛物线方程为（a＞0），∴焦点为F（a，0）．

（2）设满足题意的点为P（x₀，y₀）、Q（x₁，y₁）．

∵，

∴(a-x₀，-y₀)=2(x₁-a，y₁)，即．

又y₁²=4ax₁，y₀²=4ax₀，

∴，进而可得x₀=2a，，即y₀=±2a．

∴．

(3) 由题意可知，直线AC不平行于x轴、y轴（否则，直线AC、BD与抛物线不会有四个交点）。

于是，设直线AC的斜率为．    12分

联立方程组，化简得(设点),则是此方程的两个根．

．                           13分

弦长

＝

＝

＝．                   15分

又,．． 16分

＝,当且仅当时，四边形面积的最小值．18分

考点：直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算。

点评：中档题，涉及曲线的位置关系问题，往往通过联立方程组，消元后，应用韦达定理，简化运算过程。本题（2）通过应用平面向量共线的条件，利用“代入法”，得到的关系，进一步求得直线的斜率。（3）利用函数的观点及均值定理，确定得到面积的最小值。应用均值定理要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。