题目内容
已知圆M：(
+
)2+y2=36，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足
，
=0．
(1)求点G的轨迹C的方程；
(2)过点(2，0)作直线
，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，
，是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等(即
)?若存在，求出直线的方程；若不存在．说明理由．
解：(1)由
得Q为PN的中点且GQ⊥PN，所以GQ为PN的中垂线．
因此|PG|=|GN|，从而|GN|+|GM|=|MP|=6，
故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长
=3，半焦距c=
，
所以短半轴长b=2，所以点G的轨迹方程是
=1．
(2)因为
，所以四边形OASB为平行四边形．
若存在直线
使得
，则四边形OASEB为矩形，所以
=0．
若直线的斜率不存在，直线的方程为
，
由
得
所以
>0，这与=0矛盾，故直线的斜率存在．
设直线：
．
由
得
(9
2+4)
―362
+36(2―1)=0，
所以
,
①
故
l2=[(
―2)][(
―2)]
=2[―2(+)+4]
=
②
把①②代入+l2=0，解得=±
．
∴存在直线：3一2一6=0或3+2一6=0
使得四边形OASB的对角线相等．
练习册系列答案
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)2+y2=
,若椭圆C:
+
=1(a>b>0)的右顶点为圆M的圆心,离心率为
.
)2+y2=
,若椭圆C:
+
=1(a>b>0)的右顶点为圆M的圆心,离心率为
.
+
)2+y2=36，定点N(
,
.
，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设
，是否存在这样的直线
)?若存在，求出直线