题目内容
△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c且ccosB与bcosC的等差中项为2acosA．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面积是
，求
•
的值．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面积是
| 15 |
| AB |
| AC |
分析：（1）由正弦定理得
=
=
，由ccosB与bcosC的等差中项为2acosA，知sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosA，由此能求出cosA．
（2）由cosA=
，A是三角形内角，知sinA=
=
，由△ABC的面积是
，知bc=8，由此能求出
•
．
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
（2）由cosA=
| 1 |
| 4 |
1-(
|
| ||
| 4 |
| 15 |
| AB |
| AC |
解答：解：（1）∵△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c，
∴由正弦定理得
=
=
，
∵ccosB与bcosC的等差中项为2acosA，
∴sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosA，
sin（B+C）=4sinAcosA，
∴sinA=4cosAsinA，
∴cosA=
．
（2）∵cosA=
，A是三角形内角，
∴sinA=
=
，
∵△ABC的面积是
，
∴S△ABC=
bcsinA=
bc=
，
∴bc=8，
∴
•
=|
|•|
|cosA=8×
=2．
∴由正弦定理得
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
∵ccosB与bcosC的等差中项为2acosA，
∴sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosA，
sin（B+C）=4sinAcosA，
∴sinA=4cosAsinA，
∴cosA=
| 1 |
| 4 |
（2）∵cosA=
| 1 |
| 4 |
∴sinA=
1-(
|
| ||
| 4 |
∵△ABC的面积是
| 15 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 8 |
| 15 |
∴bc=8，
∴
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 4 |
点评：本题考查三角形内角余弦值的计算，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意等差中项、三角函数恒等变换的合理运用．
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