题目内容
已知在正四面体ABCD中，E、F分别是线段AB和线段CD上一点，且AE=
AB，CF=
CD，则直线DE和BF所成角的余弦值是（ ）
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
A、
| ||
B、
| ||
C、-
| ||
D、-
|
考点：异面直线及其所成的角
专题：空间角
分析：利用向量法即可得到结论．
解答：
解：在正四面ABCD中，设向量
=
，
=
，
=
，则三个向量两两夹角为60°，
且
•
=
，
•
=
，
•
=
，
设正四面体的棱长等于1，
则∵△ABD中，AE=
AB，CF=
CD，
∴
=
+
=
+
，
=-
+
，
|
|=
=
，|
|=
，
∵
•
=（
+
）•(-
+
)=
•
+
•
-
2+
•
=-
，
∴cos＜
，
＞=
=
=-
，
即直线DE和BF所成角的余弦值为
，
故选：A
解：在正四面ABCD中，设向量| DA |
| a |
| DB |
| b |
| DC |
| c |
且
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| b |
| c |
| 1 |
| 2 |
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
设正四面体的棱长等于1，
则∵△ABD中，AE=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
∴
| DE |
| 3 |
| 4 |
| DA |
| 1 |
| 4 |
| DB |
| 3 |
| 4 |
| a |
| 1 |
| 4 |
| b |
| BF |
| b |
| 3 |
| 4 |
| c |
|
| DE |
(
|
| ||
| 4 |
| BF |
| ||
| 4 |
∵
| DE |
| BF |
| 3 |
| 4 |
| a |
| 1 |
| 4 |
| b |
| b |
| 3 |
| 4 |
| c |
| 3 |
| 4 |
| a |
| b |
| 9 |
| 16 |
| a |
| c |
| 1 |
| 4 |
| b |
| 3 |
| 16 |
| b |
| c |
| 1 |
| 4 |
∴cos＜
| DE |
| BF |
| ||||
|
|
-
| ||||||||
|
| 4 |
| 13 |
即直线DE和BF所成角的余弦值为
| 4 |
| 13 |
故选：A
点评：本题主要考查异面直线所成角的求解，利用向量法是解决本题的关键．运算量较大．
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