Question

已知函数f（x）=a（cos²x+sinxcosx）+b
（1）当a＞0时，求f（x）的单调递增区间；
（2）当a＜0且x时，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由二倍角的三角函数公式和辅助角公式，化简整理得f（x）=asin（2x+）+a+b．再由正弦函数的图象与性质，解关于x的不等式即可得出a＞0时f（x）的单调递增区间；
（2）当x时，算出2x+．根据a＜0可得当sin（2x+）最大时函数有最小值，当sin（2x+）最小时函数有最大值．由此结合函数的值域，建立关于a、b的方程组即可求出a、b的值．
解答：解：（1）∵cos²x=（1+cos2x），sinxcosx=sin2x
∴f（x）=a（cos²x+sinxcosx）+b=a（sin2x+cos2x）+a+b
=asin（2x+）+a+b
当a＞0时，令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，（k∈Z）
得-+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z），
因此函数f（x）的单调递增区间为[-+kπ，+kπ]，（k∈Z）
（2）∵x，∴2x+
∴当x=时，f（x）的最大值-a+a+b=4…①
当x=时，f（x）的最小值a+a+b=3…②
联解①②，可得a=2-2，b=4．
点评：本题给出三角函数式的化简，求函数的单调区间与最值．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质和函数的值域与最值等知识，属于中档题．