Question

【题目】已知椭圆，三点中恰有二点在椭圆上，且离心率为。

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上任一点， 为椭圆的左右顶点， 为中点，求证：直线与直线它们的斜率之积为定值；

（3）若椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，求证：直线与直线斜率之和为定值。

Answer 1

【答案】（1）;（2）见解析;（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）先根据椭圆性质判断得在椭圆上，代入椭圆方程并与离心率联立解得（2）设，用坐标表示，再根据点在椭圆上化简求值，（3）设，用坐标表示联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代人化简可得定值.

试题解析：（1）由椭圆性质得：

在椭圆上，

得：

（2）设为椭圆上任一点， ，

得：

（3）设直线： ，设联立得：

，

代入得，