Question

【题目】已知为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，，点又恰为抛物线的焦点，以为直径的圆与椭圆仅有两个公共点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与相交于，两点，记点，到直线的距离分别为，，．直线与相交于，两点，记，的面积分别为，．

（ⅰ）证明：的周长为定值；

（ⅱ）求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）详见解析；（ii）．

【解析】

（1）由已知求得，可得，又以为直径的圆与椭圆仅有两个公共点，知，从而求得与的值，则答案可求；

（2）由题意，为抛物线的准线，由抛物线的定义知，，结合，可知等号当且仅当，，三点共线时成立．可得直线过定点，根据椭圆定义即可证明为定值；

若直线的斜率不存在，则直线的方程为，求出与可得；若直线的斜率存在，可设直线方程为，，，，，，，，，方便联立直线方程与抛物线方程，直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求得，，可得，由此可求的最大值．

解：（1）因为为抛物线的焦点，故

所以

又因为以为直径的圆与椭圆仅有两个公共点知：

所以，

所以椭圆的标准方程为：

（2）（ⅰ）由题知，因为为抛物线的准线

由抛物线的定义知：

又因为，等号当仅当，，三点共线时成立

所以直线过定点

根据椭圆定义得：

（ⅱ）若直线的斜率不存在，则直线的方程为

因为，，所以

若直线的斜率存在，则可设直线，设，

由得，

所以，

设，，

由得，

则，

所以

则

综上知：的最大值等于