Question

（2013•成都模拟）设集合A=[0，

1

2

），B=[

1

2

，1]，函数f（x）=

x+ 1 2 ，(x∈A) 2(1-x)，(x∈B)

，若f[f（x₀）]∈A，则x₀的取值范围是（　　）

• A．（0，

  1

  4

  ]
• B．（

  1

  4

  ，

  5

  8

  ]
• C．（

  1

  4

  ，

  5

  8

  ）
• D．[

  3

  8

  ，

  5

  8

  ]

Answer 1

分析：这是一个分段函数，从f[f（x₀）]∈A入手，通过分类讨论依次表达出里层的解析式，最后得到关于x₀的不等式，解不等式得到结果．

解答：解：①当x₀∈A时，即0≤x₀＜

1

2

，
所以f（x₀）=x₀+

1

2

，

1

2

≤x₀+

1

2

＜1，
即

1

2

≤f（x₀）＜1，即f（x₀）∈B，所以f[f（x₀）]=2[1-f（x₀）]=1-2x₀∈A，
即0≤1-2x₀＜

1

2

，
解得：

1

4

＜x₀≤1，又由0≤x₀＜

1

2

，
所以

1

4

＜x₀＜

1

2

．
②当x₀∈B时，即

1

2

≤x₀≤1，
所以f（x₀）=2（1-x₀），0≤1-x₀≤

1

2

，
即0≤f（x₀）≤1，
（i）当

3

4

≤x₀＜1时，有0≤f（x₀）＜

1

2

，即f（x₀）∈A，
所以f[f（x₀）]=f（x₀）+

1

2

=2（1-x₀）+

1

2

∈A，
即0≤2（1-x₀）+

1

2

＜

1

2

，
解得：1＜x₀≤

5

4

，又由

3

4

≤x₀＜1，
所以x₀∈∅．
（ii）当

1

2

≤x₀≤

3

4

时，有

1

2

≤f（x₀）≤1时，即f（x₀）∈B，
所以f[f（x₀）]=2[1-f（x₀）]=2[1-2（1-x₀）]∈A，
即0≤2[1-2（1-x₀）]＜

1

2

，
解得：

1

2

≤x₀＜

5

8

，又由

1

2

≤x₀≤

3

4

，
所以

1

2

≤x₀＜

5

8

．
综上①②，则x₀的取值范围是：（

1

4

，

5

8

）．
故选C．

点评：本题考查元素与集合间的关系，考查分段函数，解题的关键是看清自变量的范围，代入适合的代数式．