Question

已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，则f（2013）=

0

．

Answer 1

分析：由y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象可知，函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数y=f（x）为偶函数，在已知条件中令x=-3，可求f（3）及函数的周期，利用所求周期即可求解得到f（2013）的值．

解答：解：∵y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象，
∴y=f（x+1）的对称轴x=-1向右平移1个单位可得y=f（x）的对称轴x=0，
∴函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数y=f（x）为偶函数，
∵f（x+6）=f（x）+f（3），
令x=-3，则f（3）=f（-3）+f（3）
∵函数y=f（x）为偶函数，
∴f（-3）=f（3），
∴f（3）=2f（3），则f（3）=0
∴f（x+6）=f（x），
∴f（x）为周期函数，且周期为6，
∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=0，
∴f（2013）=0，
故答案为：0．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，函数的求值问题．综合考查了函数奇偶性和周期性的应用，要熟练掌握函数的性质的综合应用．此题解题的关键是通过所给的关系式求出函数的周期，利用周期转化求值．属于中档题．