Question

已知函数f（x）=e^x，g(x)=1+ax+

1

2

x2，a∈R．
（1）设函数F（x）=f（x）-g（x），讨论F（x）的极值点的个数；
（2）若-2≤a≤1，求证：对任意的x₁，x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂时，都有

g(x2)-g(x1)

f(x2)-f(x1)

＜

a+2

3

．

Answer 1

分析：（1）利用导数判断，先求函数F（x）的导数，令导数等于0，得到极值点，再判断极值点两侧导数的正负，若左正右负为极大值，若左负右正为极小值，极值点的个数为极大值的个数加极小值的个数．
（2）欲证

g(x2)-g(x1)

f(x2)-f(x1)

＜

a+2

3

，用分析法，只需寻找成立的充分条件即可，最终找到只需证明G′(x)=

a+2

3

ex-a-x≥0在x∈[1，2]上恒成立，再把

a+2

3

ex-a-x看成关于a的一次函数，当a∈[-2，1]时，两个端点函数值都大于0，所以当-2≤a≤1时，

a+2

3

ex-a-x≥0恒成立，原命题成立

解答：解：（1）F(x)=ex-1-ax-

1

2

x 2，F'（x）=e^x-a-x，F''（x）=e^x-1，令F''（x）=0，得x=0
当x∈（-∞，0）时，F''（x）＜0，从而F′（x）在（-∞，0上单调递减，
当x∈（0，+∞）时，F''（x）＞0，从而F′（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以F′（x）_min=F′（0）=1-a，
当F′（x）_min=1-a≥0，即a≤1时，F′（x）≥0恒成立，F（x）的极值点个数为0；
当F′（x）_min=1-a＜0，即a＞1时，（又x→-∞，F′（x）→+∞，x→+∞，F′（x）→+∞）F（x）的极值点个数为2个
（2）证明：

g(x2)-g(x1)

f(x2)-f(x1)

＜

a+2

3

?g(x2)-g(x1)＜

a+2

3

(f(x2)-f(x1))?

a+2

3

f(x1)-g(x1)＜

a+2

3

f(x2)-g(x2)?G(x)=

a+2

3

ex-1-ax-

1

2

x2在[1，2]上单调递增?G′(x)=

a+2

3

ex-a-x≥0在x∈[1，2]上恒成立
令H(a)=

a+2

3

ex-a-x=(

ex

3

-1)a+

2

3

ex-x(-2≤a≤1)，关于a是一次函数．
又H（-2）=2-x≥0，H（1）=e^x-1-x≥0，（由F'（x）=e^x-a-x≥1-a得）
所以G(x)=

a+2

3

ex-a-x≥0在x∈[1，2]上恒成立，所以，原命题成立．

点评：本题主要考查了利用导数求函数的极值，单调区间，属于导数的应用．