Question

已知函数f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

2

．
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）若△ABC的三边a，b，c满足b²=ac，且边b所对角为B，试求cosB的取值范围，并确定此时f（B）的最大值．

Answer 1

（1）f（x）=2cosx•sin（x+

π

3

）-

3

2

=2cosx（sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

）-

3

2

=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

2

=sinxcosx+

3

•cos²x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

•

1+cos2x

2

-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=sin（2x+

π

3

）．
∴T=

2π

|ω|

=

2π

2

=π．
（2）由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

得，cosB=

a2+c2-ac

2ac

=

a2+c2

2ac

-

1

2

≥

2ac

2ac

-

1

2

=

1

2

，∴

1

2

≤cosB＜1，
而0＜B＜π，∴0＜B≤

π

3

．函数f（B）=sin（2B+

π

3

），
∵

π

3

＜2B+

π

3

≤π，当2B+

π

3

=

π

2

，
即B=

π

12

时，f（B）_max=1．