Question

已知：a，b∈R⁺，n＞1，n∈N^*，求证：

an+bn

2

≥(

a+b

2

)n．

Answer 1

证明：（1）当n=2时，左边-右边=

a2+b2

2

-(

a+b

2

)2=(

a-b

2

)2≥0，不等式成立．（2分）
（2）假设当n=k（k∈N^*，k＞1）时，不等式成立，即

ak+bk

2

≥(

a+b

2

)k．（4分）
因为a＞0，b＞0，k＞1，k∈N^*，
所以（a^k+1+b^k+1）-（a^kb+ab^k）=（a^k-b^k）（a-b）≥0，于是a^k+1+b^k+1≥a^kb+ab^k．（6分）
当n=k+1时，(

a+b

2

)k+1=(

a+b

2

)k•

a+b

2

≤

ak+1+bk+1

2

•

a+b

2

=

ak+1+bk+1+akb+abk

4

≤

ak+1+bk+1+ak+1+bk+1

4

=

ak+1+bk+1

2

．
即当n=k+1时，不等式也成立．（9分）
综合（1），（2）知，对于a，b∈R⁺，n＞1，n∈N^*，不等式

an+bn

2

≥(

a+b

2

)n总成立（11分）．