Question

求所有的素数对（p，q），使得．

Answer 1

见解析

解析:

若，不妨设，则，故．

由Fermat小定理， ，得，即．易验证素数对不合要求，，合乎要求．        

若为奇数且，不妨设，则，故．

当时素数对合乎要求，当时，由Fermat小定理有，故．由于为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以．经检验素数对合乎要求．

若都不等于2和5，则有，故

．                 ①

由Fermat小定理，得         ，                 ②

故由①，②得

．                  ③

设，， 其中为正整数．

若，则由②，③易知

，

这与矛盾！所以．        

同理有，矛盾！即此时不存在合乎要求的．

综上所述，所有满足题目要求的素数对为

，，，，，及．