题目内容

已知椭圆 $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）与双曲线 $数学公式$ - $数学公式$ =1有相同的焦点，则椭圆的离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：根据椭圆与双曲线有相同的焦点，结合它们的方程得出关于a，b的等式，找到a= $\text{[math]}$ ，再根据这个关系得到椭圆的长半轴m= $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ b，而短半轴n= $\text{[math]}$ b，从而得到c用b表示的关系式，用离心率的公式可得到此椭圆的离心率．
解答：∵椭圆方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）
∴椭圆焦点坐标为F（±c，0）
其中c满足：c²=2a²-2b²…①
又∵双曲线方程为 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1且与已知椭圆有相同的焦点
∴双曲线焦点坐标也为F（±c，0），
满足c²=a²+b²…②．
对照①②，得2a²-2b²=a²+b²，
∴a²=3b²?a= $\text{[math]}$ ，
可得椭圆的长半轴m= $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ b
短半轴n= $\text{[math]}$ b
∴半焦距c= $\text{[math]}$ =2b
离心率e= $\text{[math]}$ ，
即则椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ．
故选D．
点评：本小题考查双曲线与椭圆的关系，考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．