Question

用数学归纳法证明：

（n²－1）+2（n²－2²）+…+n（n²－n²）=n²（n²－1）（n∈N^*）.

Answer 1

证明：（1）当n=1时，左边=0，右边=0，等式成立.

（2）假设n=k时，等式成立，即

（k²－1）+2（k²－2²）+…+k（k²－k²）=k²（k²－1）成立.

当n=k+1时，

［（k+1）²－1²］+2［（k+1）²－2²］+…+k［（k+1）²－k²］+（k+1）［（k+1）²－（k+1）²］

=［（k²－1²）+（2k+1）］+2［（k²－2²）+（2k+1）］+…+k［（k²－k²）+（2k+1）］

=［（k²－1²）+2（k²－2²）+…+k（k²－k²）］+（2k+1）（1+2+…+k）

=k²（k²－1）+（2k+1）·k（k+1）

=（k+1）²［（k+1）²－1］.

∴当n=k+1时，等式成立.

由（1）（2）可知，等式对任何n∈N^*都成立.