Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=a，BC=b
（1）设E、F分别为AB₁、BC₁的中点，求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：AC⊥AB；
（3）求四面体B₁ABC₁的体积．

Answer 1

分析：（1）由题意得，EF是三角形 BA₁C₁的中位线，可得EF∥A₁C₁，EF∥AC，从而证得EF∥平面ABC．
（2）先证明AB₁⊥平面A₁BC₁ ，可得 AB₁⊥AC，又由 BB₁⊥AC得到AC⊥平面ABB₁A₁，故 AC⊥AB．
（3）Rt△ABC中，求得AC的值，点A到BC的距离h，利用四面体B₁ABC₁的体积等于

1

3

•(

1

2

B1 C1•BB1)h，求得结果．

解答：解：（1）证明：由题意得，EF是三角形 BA₁C₁的中位线，
∴EF∥A₁C₁，EF∥AC．
而AC?平面ABC，EF不在平面ABC内，∴EF∥平面ABC．
（2）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=a，
故ABB₁A₁ 为正方形，∴AB₁⊥A₁B．
这样，AB₁ 垂直于平面A₁BC₁内的两条相交直线BC₁和A₁B，
∴AB₁⊥平面A₁BC₁ ，得到 AB₁⊥A₁C₁ ，∴AB₁⊥AC．
又由 BB₁⊥AC得到AC⊥平面ABB₁A₁，故 AC⊥AB．
（3）Rt△ABC中，AC=

BC2- AB2

=

b2-a2

，
故点A到BC的距离h=

AB•AC

BC

=

a  b2-a2

b

，
故四面体B₁ABC₁的体积等于

1

3

•(

1

2

B1 C1•BB1)h=

1

3

• (

1

2

•b•a) •

a b2-a2

b

=

1

6

a2

b2-a2

．

点评：本题考查证明线面平行、线线垂直的方法，体现了数形结合的数学思想，证明AC⊥平面ABB₁A₁，是解题的难点．