Question

【题目】已知椭圆的一个顶点为,半焦距为,离心率,又直线交椭圆于, 两点,且为中点.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）若,求弦的长;

（3）若点恰好平分弦,求实数;

（4）若满足,求实数的取值范围并求的值;

（5）设圆与椭圆相交于点与点,求的最小值,并求此时圆的方程;

（6）若直线是圆的切线,证明的大小为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）, ；（4）,；（5）；（6）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据题意得方程组，解出方程组得椭圆方程；（2）联立方程组，解出即可得交点坐标，进而得弦长；（3）利用“点差法”可得斜率，根据点在直线上故而可得的值；（4）在（3）式的基础上等号两边同时除以，即可得的值，联立直线与椭圆的方程，根据可得，结合韦达定理可得点坐标，根据,所以，化简可得，两者结合即可得结果；（5）根据点与点关于轴对称，设出的坐标，再利用点在椭圆上，利用数量积的坐标表达式得出的表达式，最后利用二次函数的性质求其最小值及求此时圆的方程；（6）利用（4）中的结果结合韦达定理可得，根据直线与圆相切可得，故而，即可得结果.

试题解析：(1)根据题意: ,解得,所以椭圆的标准方程为;

（2）联立直线方程和椭圆方程: ,整理得: ,解得或,

所以, ,则.

（3）恰好平分弦,所以,

在椭圆上,则,上下相减得,

即,即,则,即,

点在直线上,所以直线,整理得,所以,

综上所述: , .

（4）由（3）知,等号两边同时除以,

得,所以.

联立直线方程和椭圆方程: ,整理得: ,

,解得,

则,所以,则,

因为,所以,则,化简得,则,又,所以,解得,

综上所述: ,.

（5）设, ,则 ,

所以,点与点在椭圆上: ,所以,当时, 取得最小值,此时, ,

综上所述: 的最小值为,此时圆的方程.

（6）由（4）得且,所以,,

所以

直线是圆的切线,所以点到直线距离为,

即,整理得,所以,即的大小为.