Question

已知函数f(x)=

1+a•2x

2x+1

是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性并用定义法证明；
（3）若对任意x∈R⁺不等式f(x+

2

x

-

m

)≤-

1

3

恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义，列出等式，即可求实数a的值；
（2）化简函数，求得函数的单调性，再利用定义进行证明；
（3）先化为具体不等式，再分离参数求最值，即可求实数m的范围．

解答：解：（1）由题意，f（-x）=-f（x），
∴

1+a•2-x

2-x+1

=-

1+a•2x

2x+1

∴

a+2-x

2x+1

=-

1+a•2x

2x+1

∴a=-1；
（2）f(x)=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

在R上为减函数，证明如下：
设x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2x2+1-2x1+1

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，∴2x2+1-2x1+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上为减函数；
（3）不等式f(x+

2

x

-

m

)≤-

1

3

恒成立，等价于f(x+

2

x

-

m

)≤f(1)
∵f（x）在R上为减函数
∴x+

2

x

-

m

≤1
∴

m

≤x+

2

x

-1
∵x＞0，∴x+

2

x

-1≥2

2

-1
∴

m

≤2

2

-1
∴0≤m≤9-4

2

．

点评：本题考查函数的单调性与奇偶性，考查恒成立问题，确定函数的单调性，转化为具体不等式是关键，属于中档题．