Question

已知函数g（x）=ax²﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）不等式f（2x）﹣k2^x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的范围；
（Ⅲ）方程有三个不同的实数解，求实数k的范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）（1）g（x）=a（x﹣1）²+1+b﹣a
当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数
故
当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数
故
∵b＜1
∴a=1，b=0
（Ⅱ）由（Ⅰ）即g（x）=x²﹣2x+1.
．
方程f（2x）﹣k2^x≥0化为，
令，k≤t²﹣2t+1
∵x∈[﹣1，1]
∴
记φ（t）=t²﹣2t+1
∴φ（t）_min=0
∴k≤0
（Ⅲ）方程化为
|2^x﹣1|²﹣（2+3k）|2^x﹣1|+（1+2k）=0，|2^x﹣1|≠0
令|2^x﹣1|=t，则方程化为t²﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0）
∵方程有三个不同的实数解，
∴由t=|2x﹣1|的图象知，t²﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t₁、t₂，且0＜t₁＜1＜t₂或0＜t₁＜1，t₂=1
记Φ（t）=t²﹣（2+3k）t+（1+2k）则
或
∴k＞0．