Question

若函数y=a^2x+2a^x-1（a＞0且a≠1）在[-1，1]上的最大值为23，求实数a的值．

Answer 1

分析：先a^x=t，将函数转化成关于t的二次函数，注意讨论a的大小，求出变量t的范围，结合开口方向和对称轴求出最大值，建立等量关系，解之即可．

解答：解：设a^x=t，则y=f（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2
其对称轴是t=1，若a＞1，x∈[-1，1]时，t∈[

1

a

，a]二次函数y=f（t）
在[

1

a

，a]上是增函数，从而y_max=f（a）=a²+2a-1
令a²+2a-1=23，得a=4（a=-6舍去）
若0＜a＜1，x∈[-1，1]时，t∈[

1

a

，a]，y=f(t)在[a，

1

a

]上仍是增函数，
从而ymax=f(

1

a

)=

1

a2

+

2

a

-1=23，解得a=

1

4

或a=-

1

6

(舍去)
综合得：a=4或a=

1

4

点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及指数函数的单调性与特殊点，属于基础题．