Question

【题目】已知抛物线，且抛物线在点处的切线斜率为，直线与抛物线交于两点（点在点左侧），且直线垂直于直线．

（1）求证：直线过定点，并求出定点坐标；

（2）如图，直线交轴于点，直线交轴于点，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，定点；（2）50

【解析】

（1）首先根据题意求出抛物线方程，然后求出点的坐标，再由直线互相垂直，求出直线的斜率，求出直线的方程，进而可得定点坐标；

（2）首先设出直线的方程，然后联立直线与抛物线的方程，求出的横坐标，最后利用弦长公式，即可求解．

（1）由题意可得．

当时，，

抛物线的方程为．

．

设，

，

，

化简得．

又，

直线的方程为，

即．

将式代入直线的方程，得：，

令，则，

可得直线过定点．

（2）设直线的方程为，

不妨设，易知，

联立，得，得，

，

利用根与系数的关系得

同理可得，

易知，

，

，

的最大值为50．