题目内容
已知函数f（x）=-x2+2x，对于正实数a，b，有下列四个不等式，①f(
)≥f(
)；②f(
)≤f(2)；③f(
)≥f(
)④f(-a-
)≤f(-2)．其中一定成立的不等式是
| a+b |
| 2 |
| ab |
| a2+b2 |
| ab |
| ||
| a+b |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
②④
②④
．（填序号）分析：利用基本不等式，比较每组中自变量的大小关系，利用函数f（x）=-x2+2x的单调性逐个判断即可．
解答：解：∵f（x）=-（x-1）2+1，为开口向下的抛物线，对称轴x=1，当x＜1时，y=f（x）单调递增，当x＞1时，y=f（x）单调递减．
∴对于①，若a＞1，b＞1，则
＞1，
＞1，
∵
≥
＞1，f（x）=-（x-1）2+1在[1，+∞）上单调递减，
∴f（
）≤f（
），故①错误；
对于②，∵
≥
=2，f（x）=-（x-1）2+1在[1，+∞）上单调递减，
∴f（
）≤f（2），即②正确；
对于③，同理可知0＜
≤
，
∵f（x）=-x2+2x在（-∞，1]上单调递增，
∴f（
）≤f（
），故③错误；
对于④，∵a＞0，
∴a+
≥2，
∴-a-
≤-2，
∵f（x）=-x2+2x在（-∞，1]上单调递增，
∴f（-a-
）≤f（-2），故④正确．
综上：其中一定成立的不等式是②④．
故答案为：②④．
∴对于①，若a＞1，b＞1，则
| a+b |
| 2 |
| ab |
∵
| a+b |
| 2 |
| ab |
∴f（
| a+b |
| 2 |
| ab |
对于②，∵
| a2+b2 |
| ab |
| 2ab |
| ab |
∴f（
| a2+b2 |
| ab |
对于③，同理可知0＜
| ||
| a+b |
| 1 |
| 2 |
∵f（x）=-x2+2x在（-∞，1]上单调递增，
∴f（
| ||
| a+b |
| 1 |
| 2 |
对于④，∵a＞0，
∴a+
| 1 |
| a |
∴-a-
| 1 |
| a |
∵f（x）=-x2+2x在（-∞，1]上单调递增，
∴f（-a-
| 1 |
| a |
综上：其中一定成立的不等式是②④．
故答案为：②④．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数单调性的应用，突出考查基本不等式的运用，考查分析、运算能力，属于中档题．
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}的前n项和为Sn，则S2010的值为（ ）
| 1 |
| f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|