Question

已知O为△ABC所在平面外一点，且=，=，=，OA，OB，OC两两互相垂直，H为△ABC的垂心，试用，，表示．

Answer 1

【答案】分析：利用线面垂直的判断定理得到OA⊥面OBC，OH⊥平面ABC，得到线线垂；利用平面向量基本定理设出，利用向量垂直的充要条件列出方程组求出K₁，K₂K₃，求出
解答：解：由平面OBC⇒OA⊥BC，连AH并延长并BC于M．
则由H为△ABC的垂心．∴AM⊥BC、
于是BC⊥平面OAH⇒OH⊥BC、
同理可证：平面ABC、
又，，是空间中三个不共面的向量，由向量基本定理知，存在三个实数k₁，k₂，k₃使得=、
由且⇒k₂=k₃，同理k₁=k₂．
∴k₁=k₂=k₃=m≠0． ①
又AH⊥OH，
∴=0⇒k₁（k₁-1）++=0②
联立①及②，得③
又由①，得，，，代入③得：，，，
其中△=，于是=（）
点评：本题考查线面垂直的判断定理、线面垂直的性质、平面向量基本定理、向量垂直的充要条件．