题目内容

已知O为△ABC所在平面内一点，满足|
OA
|2+|
BC
|2=|
OB
|2+|
CA
|2=|
OC
|2+|
AB
|2，则点O是△ABC的（　　）
A、外心B、内心C、垂心D、重心
分析：根据向量的减法分别用
OA
，
OB
，
OC
表示
BC
，
CA
，
AB
，利用数量积运算和题意代入式子进行化简，证出OC⊥AB，同理可得OB⊥AC，OA⊥BC，即证出O是△ABC的垂心．
解答：解：设
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，则
BC
=
c
-
b
，
CA
=
a
-
c
，
AB
=
b
- 
a
．
由题可知，|
OA
|2+|
BC
|2=|
OB
|2+|
CA
|2=|
OC
|2+|
AB
|2，
∴|
a
|2+|
c
-
b
|2=|
b
|2+|
a
-
c
|2，化简可得
c
•
b
=
a
•
c
，即（
b
-
a
）•
c
=0，
∴
OC
•
AB
=0，∴
AB
⊥
OC
，即OC⊥AB．
同理可得OB⊥AC，OA⊥BC．
∴O是△ABC的垂心．
故选C．
点评：本题考查了向量在几何中应用，主要利用向量的线性运算以及数量积进行化简证明，特别证明垂直主要根据题意构造向量利用数量积为零进行证明．
练习册系列答案
相关题目
已知O为△ABC所在平面外一点，且
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，OA，OB，OC两两互相垂直，H为△ABC的垂心，试用
a
，
b
，
c
表示
OH
．
已知O为△ABC所在平面内的一点，且满足（
OB
-
OC
）•（
OB
+
OC
）•（
OB
+
OC
-2
OA
）=0，试判断△ABC的形状．
已知O为△ABC所在平面内一点，满足|
OA
|2+|
BC
|2=|
OB
|2+|
CA
|2=|
OC
|2+|
AB
|2，则点O是△ABC的
 
 心．

已知O为△ABC所在平面内一点,满足

,则点O是△ABC的(    )

A.外心                   B.内心                  C.垂心              D.重心

 

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