Question

已知函数f(x)=lnx-

a

2

x2-2x存在单调递减区间，则a的取值范围是（　　）

A．[-1，+∞）

B．（-1，+∞）

C．（-∞，-1）

D．（-∞，-1]

Answer 1

分析：可求得f′（x）=

-ax2-2x+1

x

（x＞0），依题意，存在x＞0，使得-ax²-2x+1＜0，对a分类讨论即可求得a的取值范围．

解答：解：∵f（x）=lnx-

a

2

x²-2x（x＞0），
∴f′（x）=

1

x

-ax-2
=

-ax2-2x+1

x

（x＞0），
∵f（x）=lnx-

a

2

x²-2x存在单调递减区间，而x＞0，
∴存在x＞0，使得-ax²-2x+1＜0?存在x＞0，使得ax²+2x-1＞0．
当a＞0时，g（x）=ax²+2x-1为开口向上的抛物线，显然满足题意；
当a＜0时，g（x）=ax²+2x-1为开口向下的抛物线，若满足“存在x＞0，使得ax²+2x-1＞0”，必须△=4+4a＞0，
∴-1＜a＜0；
当a=0时，存在x＞0，使得ax²+2x-1＞0成立．
综上所述，a＞-1．
故选B．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查考查分析与理解能力，属于中档题．