Question

在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2，AB＝1.

(1)求四棱锥P－ABCD的体积V；

(2)若F为PC的中点，求证：平面PAC⊥平面AEF.

Answer 1

(1)在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，

∴BC＝，AC＝2.

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

CD＝2，

∵S_{四边形ABCD}＝AB·BC＋AC·CD＝×1×＋×2×2＝.

则V＝××2＝.

(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.

又AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC，

∵E、F分别是PD、PC的中点，∴EF∥CD，

∴EF⊥平面PAC，

∵EF⊂平面AEF，∴平面PAC⊥平面AEF.