题目内容

已知向量 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的表达式，并指出f（x）的单调递减区间；
（2）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且 $数学公式$ ，求△ABC的面积S．

解：（1）依题意知，2sin $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）-[cosx+f（x）]×（-1）=0，
整理得：f（x）=-（sinx+cosx）
=- $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ ）；
由2kπ- $\text{[math]}$ ≤x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z得：
2kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z
∴f（x）的单调递减区间为[2kπ- $\text{[math]}$ ，2kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈Z．
（2）∵f（A）=- $\text{[math]}$ sin（A+ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ，
∴sin（A+ $\text{[math]}$ ）=1，而△ABC为锐角三角形，
∴A= $\text{[math]}$ ．
又bc=8，
∴△ABC的面积S= $\text{[math]}$ bcsinA= $\text{[math]}$ ×8×sin $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用向量的坐标运算可求得f（x）的表达式，再利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递减区间；
（2）由（1）知f（x）=- $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ ），结合f（A）=- $\text{[math]}$ 可求得A，从而可求得△ABC的面积S．
点评：本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查解三角形，求得f（x）的表达式是关键，属于中档题．