Question

由下列式子　1＞

1

2

1+

1

2

+

1

3

＞1
1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+

1

7

＞

3

2

1+

1

2

+

1

3

+…+

1

15

＞2
…
猜想第n个表达式，并用数学归纳法给予证明．

Answer 1

分析：由所给式子可以猜想1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

＞

n

2

，再用数学归纳法论证．

解答：解：猜想1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

＞

n

2

证明：（1）当n=1时，成立；
（2）假设n=k时，成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

＞

k

2

，
则n=k+1时，左边=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

+…+

1

2k+1-1

＞ 

k

2

+

1

2k

+…+

1

2k+1-1

，其中

1

2k

+…+

1

2k+1-1

共有2^k项，

1

2k

+…+

1

2k+1-1

＞ 

2k

2k+1-1

＞

2k

2k+1

=

1

2

，
所以1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

+…+

1

2k+1-1

＞

k

2

+

1

2k

+…+

1

2k+1-1

＞

k+1

2

，即n=k+1时，成立，
由（1）（2）可知，结论成立．

点评：考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．数学归纳法证题的关键是“一凑假设，二凑结论”，在证题的过程中，归纳推理一定要起到条件的作用，即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件