Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，为直角三角形，，且.

（1）证明：平面平面；
（2）若AB=2AE，求异面直线BE与AC所成角的余弦值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）由已知可知AE⊥AB，又AE⊥AD，所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，又ABCD为正方形，所以DB⊥AC，所以DB⊥平面AEC，而BD平面BED，故有平面AEC⊥平面BED.
（2）作DE的中点F，连接OF，AF，由于O是DB的中点，且OF∥BE，可知∠FOA或其补角是异面直线BE与AC所成的角；设正方形ABCD的边长为2，则，由于，AB=2AE，
可知，，则，又，∴=,由余弦定理的推理∴∠FOA==，故异面直线BE与AC所成的角的余弦值为.
试题解析：（1）由已知有AE⊥AB，又AE⊥AD，
所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，                    3分
又ABCD为正方形，所以DB⊥AC，                        4分
所以DB⊥平面AEC，BD面BED
故有平面AEC⊥平面BED.                                 6分
（2）作DE的中点F，连接OF，AF，

∵O是DB的中点，
∴OF∥BE，∴∠FOA或其补角是异面直线BE与AC所成的角。 8分
设正方形ABCD的边长为2，
则，     9分
∵，AB=2AE，
∴，，∴                  10分
又，∴=,∴∠FOA==
∴异面直线BE与AC所成的角的余弦值为 12分.