Question

设函数f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x，以下关于f（x）的导函数f′（x）说法正确的有（　　）
①其图象可由y=2sin2x 向左平移

π

3

 得到；     
②其图象关于直线x=

π

12

对称；
③其图象关于点（

π

3

，0）对称；                   
④在区间（-

π

6

，0）上是增函数．

A．①②③

B．②③④

C．③④

D．①②③④

Answer 1

分析：化简f（x），求导数f'（x），利用三角函数的性质分别进行判断即可．

解答：解：∵f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），∴f'（x）=2cos（2x-

π

6

）．
①将y=2sin2x 向左平移

π

3

 得到y=sin2（x+

π

3

）=sin（2x+

2π

3

），∴①错误．
②当x=

π

12

时，f'（

π

12

）=2cos（2×

π

12

-

π

6

）=2cos0=2，为函数f'（x）的最大值，∴函数f'（x）关于x=

π

12

对称，∴②正确．
③当x=

π

3

时，f'（

π

3

）=2cos（2×

π

3

-

π

6

）=2cos

π

2

=0，∴图象关于点（

π

3

，0）对称，∴③正确．
④当-

π

6

＜x＜0，-

π

3

＜2x＜0，-

π

2

＜2x-

π

6

＜-

π

6

，则函数f'（x）=2cos（2x-

π

6

）．在区间（-

π

6

，0）上是增函数．∴④正确．
故正确的是②③④．
故选：B．

点评：本题主要考查导数的基本运算，以及三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的图象和性质的应用．