Question

已知直线l：mx+ny=1与曲线C：

x= 1 2 cos? y= 1 2 sin?

（?为参数）无公共点，则过点（m，n）的直线与曲线ρ²=

36

4cos2θ+9sin2θ

的公共点的个数为

2

．

Answer 1

分析：将曲线ρ²=

36

4cos2θ+9sin2θ

的极坐标方程转化为普通方程为：4x²+9y²=36，依题意，直线l与圆

x= 1 2 cos? y= 1 2 sin?

相离，从而可知m²+n²＜4，数形结合即可求得过点（m，n）的直线与曲线ρ²=

36

4cos2θ+9sin2θ

的公共点的个数．

解答：解：∵直线l：mx+ny=1与曲线C：

x= 1 2 cos? y= 1 2 sin?

（?为参数）即x²+y²=

1

4

无公共点，
∴直线l：mx+ny=1与圆x²+y²=

1

4

相离，
∴圆心（O，O）到直线l的距离d大于半径

1

2

，
即

1

m2+n2

＞

1

2

，
∴m²+n²＜4．
又曲线ρ²=

36

4cos2θ+9sin2θ

的普通方程为：4x²+9y²=36，即

x2

9

+

y2

4

=1，
由图知，过点（m，n）的直线与曲线ρ²=

36

4cos2θ+9sin2θ

的公共点的个数为2个．
故答案为：2．

点评：本题考查圆的参数方程、椭圆的极坐标方程与普通方程的转化．考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查转化思想与数形结合思想的综合应用，属于难题．