Question

对于四面体ABCD，给出下列四个命题：

①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；

②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；

③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；

④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.

其中真命题的序号是____________.（写出所有真命题的序号）

Answer 1

思路点拨：本题要判断线线垂直，可以围绕着线面垂直的相关性质来逐一判定.

解：对于①，取BC的中点E，连结AE、BE.则有BC⊥AE，BC⊥DE，BC⊥平面ADE.又AD平面ADE，所以有BC⊥AD；对于④，过点A向平面BCD作垂线AO,连结BO与CD交于点E，则CD⊥BE.同理,CF⊥BD.所以点O是△BCD的垂心.连结DO，则有BC⊥DO，BC⊥AO，BC⊥AD.故应填①④.

［一通百通］ 要证明（或判定）线线垂直时，通常要根据已知条件先得出线面垂直关系，从而利用线面垂直的性质得到线线垂直.