题目内容

已知定义在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当 $数学公式$ 时， $数学公式$ ，则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数为________个．

9
分析：要求方程f（x）=0在区间[0，6]上的解的个数，根据函数f（x）是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈（0， $\text{[math]}$ ）时f（x）=sinπx，我们不难得到一个周期函数零点的个数，根据周期性进行分析不难得到结论．
解答：∵当x∈（0， $\text{[math]}$ ）时，f（x）=sinπx，
令f（x）=0，则sinπx=0，解得x=1．
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴在区间∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上，
f（-1）=f（1）=f（ $\text{[math]}$ ）=f（- $\text{[math]}$ ）=0，
f（0）=0，
∵函数f（x）是周期为3的周期函数，
则方程f（x）=0在区间[0，6]上的解有0，1， $\text{[math]}$ ，2，3，4， $\text{[math]}$ ，5，6．
共9个．
故答案为：9．
点评：若奇函数经过原点，则必有f（0）=0，这个关系式大大简化了解题过程，要注意在解题中使用．如果本题所给区间为开区间，则答案为7个，若区间为半开半闭区间，则答案为8个，故要注意对端点的分析．